Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n-na_n=-n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n-2015，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=a_n-2015=2n-2016，令b_n≥0，解得n．即可得出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n取得最小值時(shí)的n的值．

解答 解：（1）∵S_n-na_n=-n²+n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1-（n-1）a_n-1=-（n-1）²+（n-1），a_n-na_n+（n-1）a_n-1=2-2n，
化為a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=a_n-2015=2n-2016，
令b_n≥0，解得n≥1008．
∴當(dāng)n=1007或1008時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n取得最小值．
T₁₀₀₈=$\frac{1008×（-2014+0）}{2}$=-1015056．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．