Question

已知橢圓=1上一點(diǎn)M(1，)，P、Q是橢圓上異于M的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)若P、M、Q到橢圓左焦點(diǎn)F₁的距離成等差數(shù)列，求證：線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A;

(2)在(1)的條件下，若=0(零向量)，求|PB|的最大值及相應(yīng)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：(1)設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，橢圓中a=2，b=，c=，e=.

∵|PF₁|=2+x₁，|MF₁|=2+，|QF₁|=2+x₂，依題意，2|MF₁|=|PF₁|+|QF₁|，∴x₁+x₂=2，設(shè)PQ中點(diǎn)為C(x₀，y₀)，線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)為l，則

x₀==1，y₀=，

∵P、Q在橢圓上，∴=0,

+y₀(y₁-y₂)=0

∵y₀≠0，∴k_PQ=，∵PQ⊥l，∴k₁=2y₀，

∴l(xiāng)的方程是y-y₀=2y₀（x-1），即

y=y₀(2x-1)，∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(，0)．

(2)A(，0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B(-，0)．

|PB|=

=

∵-2≤x₁≤2，∴當(dāng)x₁=2時(shí)，|PB|_max=，此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)．