Question

【題目】已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，且.

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)求函數(shù)在區(qū)間[－3，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】(1) a＝3，b＝－12；(2)-6.

【解析】試題分析：

(1)由函數(shù)的解析式可得f′(x)＝6x2＋2ax＋b，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合f′(1)＝0可得b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，則f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．

據(jù)此即可確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，求解函數(shù)值可得f(x)在[－3，2]上的最小值為－6.

試題解析：

(1)f′(x)＝6x2＋2ax＋b，函數(shù)y＝f′(x)的圖象的對稱軸為x＝－.

∵－＝－，∴a＝3. ∵f′(1)＝0，∴6＋2a＋b＝0，得b＝－12.

故a＝3，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，

f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．

x，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵f(－3)＝10， f(1)＝－6, ∵10 >5>－6，.

∴所以f(x)在[－3，2]上的最小值為－6.