Question

17．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P∈BB₁（P不與B，B₁重合）．PA∩A₁B=M，PC∩BC₁=N．
求證：MN∥平面ABCD．

Answer 1

分析 由已知得AC∥A₁C₁，從而得到AC∥平面A₁BC₁，再由平面A₁BC₁∩平面PAC=MN，得到AC∥MN，由此能證明MN∥平面ABCD．

解答 證明：如圖，連接AC、A₁C₁，
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，
∴四邊形ACC₁A₁是平行四邊形．∴AC∥A₁C₁．
∵AC?平面A₁BC₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴AC∥平面A₁BC₁．
∵AC?平面PAC，平面A₁BC₁∩平面PAC=MN，∴AC∥MN．
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．