Question

18．若數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1，S_n=a_n+1+n，則其通項公式為${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{1-{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知數列遞推式可得S_n-1=a_n+n-1（n≥2），與原遞推式作差可得數列{a_n-1}自第二項起構成以2為公比的等比數列，結合等比數列的通項公式得答案．

解答 解：由S_n=a_n+1+n，得S_n-1=a_n+n-1（n≥2），
兩式作差得：a_n=a_n+1-a_n+1，即a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）（n≥2），
由a₁=1，S_n=a_n+1+n，得a₂=0，
a₂-1=-1，a₁-1=0，不滿足a_n+1-1=2（a_n-1），
∴數列{a_n-1}自第二項起構成以2為公比的等比數列，
∴${a}_{n}-1=-1×{2}^{n-2}$，即${a}_{n}=1-{2}^{n-2}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{1-{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{1-{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了等比數列通項公式的求法，是中檔題．