Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，S_n=

n+1

2

an(n∈N+)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=an•3n（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和的公式．

Answer 1

分析：（1）由S_n=

n+1

2

a_n可得S_n+1=

(n+1)+1

2

a_n+1，兩式相減可求得

an+1

an

=

n+1

n

，再結合a₁=2，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法即可求得數列{b_n}的前n項和．

解答：解：（1）∵S_n=

n+1

2

a_n（n∈N^*），①
∴S_n+1=

(n+1)+1

2

a_n+1（n∈N^*），②
②-①得：a_n+1=

(n+1)+1

2

a_n+1-

n+1

2

a_n，
∴

n

2

a_n+1=

n+1

2

a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n

，又a₁=2，
a_n=

n

n-1

a_n-1=

n

n-1

×

n-1

n-2

a_n-2=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

a₁
=na₁=2n．
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ，設數列{b_n}的前n項和為T_n，
則T_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2n×3ⁿ，③
∴3T_n=2×3²+4×3³+…+2（n-1）×3ⁿ+2n×3ⁿ⁺¹，④
③-④得：-2T_n=2×3+2×3²+…+2×3ⁿ-2n×3ⁿ⁺¹
∴-T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹
=（

1

2

-n）3ⁿ⁺¹-

3

2

，
∴T_n=（n-

1

2

）3ⁿ⁺¹+

3

2

．

點評：本題考查數列的求和，考查等差數列的通項公式，求得數列{a_n}的通項公式是關鍵，也是難點，考查分析與推理能力，屬于中檔題．