Question

若不等式ax2-2ax＞(

1

a

)x+1 (a≠1)對一切實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：不等式即  ax2-2ax＞(a )-x-1對一切實數(shù)x恒成立．當(dāng)a＞1時，由單調(diào)性知 x²-2ax＞-x-1 恒成立，故有△＜0，解得

3

2

＞a＞1．當(dāng)1＞a＞0時，應(yīng)有 x²-2ax+x+1＜0恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，這不可能，進(jìn)而可得答案

解答：解：∵不等式ax2-2ax＞(

1

a

)x+1 (a≠1)對一切實數(shù)x恒成立，即  ax2-2ax＞(a )-x-1對一切實數(shù)x恒成立．
當(dāng)a＞1時，故 x²-2ax＞-x-1 恒成立，∴x²-2ax+x+1＞0 恒成立，
∴△=（1-2a）²-4＜0，∴-

1

2

＜a＜

3

2

，故有 

3

2

＞a＞1．
當(dāng)1＞a＞0時，故有 x²-2ax＜-x-1 恒成立，∴x²-2ax+x+1＜0恒成立，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，這是不可能的．
綜上，a的取值范圍為

3

2

＞a＞1，
故答案為 （1，

3

2

）．

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．