Question

某火山噴發(fā)停止后，為測量的需要，設距離噴口中心50米內的圓環(huán)面為第1區(qū)、50米至100米的圓環(huán)面為第2區(qū)、…、第50（n-1）米至50n米的圓環(huán)面為第n區(qū)，…，現(xiàn)測得第1區(qū)火山灰平均每平方米為1000千克、第2區(qū)每平方米的平均重量較第1區(qū)減少2%、第3區(qū)較第2區(qū)又減少2%，以此類推，求：
（1）離火山口1225米處的圓環(huán)面平均每平方米火山灰重量（結果精確到1千克）？
（2）第幾區(qū)內的火山灰總重量最大？

Answer 1

分析：（1）設第n區(qū)每平方米的重量為a_n千克，則a_n=1000（1-2%）^n-1=1000×0.98^n-1．由題意知第1225米位于第25區(qū)，a₂₅=1000×0.98²⁴=616（千克）．
（2）設第n區(qū)內的面積為b_n平方米，第n區(qū)火山灰總重量最大，
則

25×105π(2n-1)×0.98n-1≥25×105π(2n-3)×0.98n-2 25×105π(2n-1)×0.98n-1≥25×105π(2n+1)×0.98n

，由此得到第50區(qū)火山灰的總重量最大．

解答：解：（1）設第n區(qū)每平方米的重量為a_n千克，則a_n=1000（1-2%）^n-1=1000×0.98^n-1（2分）
第1225米位于第25區(qū)，（4分）
∴a₂₅=1000×0.98²⁴=616（千克）
故第1225米處每平方米火山灰約重616千克（6分）
（2）設第n區(qū)內的面積為b_n平方米，則b_n=π50²n²-π50²（n-1）²=2500π（2n-1）
則第n區(qū)內火山灰的總重量為C_n=a_nb_n=25×10⁵π（2n-1）×0.98^n-1（千克）（9分）
設第n區(qū)火山灰總重量最大，
則

25×105π(2n-1)×0.98n-1≥25×105π(2n-3)×0.98n-2 25×105π(2n-1)×0.98n-1≥25×105π(2n+1)×0.98n

，（13分）
解得49.5≤n≤50.5，即得第50區(qū)火山灰的總重量最大．（16分）

點評：本題考查數(shù)列知識的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．