Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過左焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)為橢圓的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）過左焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為通徑長，即，又離心率為，得，再由，解方程組得（2）解析幾何中證明定值問題，一般方法為以算代證，因?yàn)?/span>，利用，消y得，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，代入化簡得定值41

試題解析：（1）由，可得橢圓方程．．．．．．．．．．4分

（2）設(shè)的方程為，代入并整理得：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

設(shè)，則，

又因?yàn)?/span>，同理．．．．．．．．．．．．．．8分

則，

所以是定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分