Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，為直角三角形，，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若AB=2AE，求異面直線BE與AC所成角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.

（2）作DE的中點F，連接OF，AF，由于O是DB的中點，且OF∥BE，可知∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角；設正方形ABCD的邊長為2，則，由于，AB=2AE，

可知，，則，又，∴=,由余弦定理的推理∴∠FOA==，故異面直線BE與AC所成的角的余弦值為.

試題解析：（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，

所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB， 3分

又ABCD為正方形，所以DB⊥AC， 4分

所以DB⊥平面AEC，BD面BED

故有平面AEC⊥平面BED. 6分

（2）作DE的中點F，連接OF，AF，

∵O是DB的中點，

∴OF∥BE，∴∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角。 8分

設正方形ABCD的邊長為2，

則， 9分

∵，AB=2AE，

∴，，∴ 10分

又，∴=,∴∠FOA==

∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為 12分.

考點：1.直線與平面垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理；2.異面直線成角；3.余弦定理的推論.