Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短軸長為2，動點 在橢圓的準線上。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；

（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值。

Answer 1

解：（1）由，得                                ……………1分

又由點M在準線上，得                                  ……………2分

故，    從而                           ……………4分

所以橢圓方程為                                    ……………5分

（2）以OM為直徑的圓的方程為

即                                

其圓心為,半徑                                  ……………7分

因為以OM為直徑的圓被直線截得的弦長為2

所以圓心到直線的距離             ……………9分

所以，解得

所求圓的方程為                            ……………10分

（3）方法一：由平幾知：

直線OM：，直線FN：                    ……………12分

由得

所以線段ON的長為定值。                              ……………16分

方法二、設，則

又

所以，為定值。