Question

對于函數①f(x)=4x+

1

x

-5，②f(x)=|log2x|-(

1

2

)x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判斷如下兩個命題的真假：命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數；命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂＜1．能使命題甲、乙均為真的函數的序號是

 

．

Answer 1

分析：分別分析①②③中三個函數的性質，求出它們的單調區(qū)間，以及他們在區(qū)間（0，+∞）上零點的個數，和題目中的兩個條件進行比照，即可得到答案．

解答：解：當函數f(x)=4x+

1

x

-5，在區(qū)間（0，

1

2

）上單調遞減，在區(qū)間（

1

2

，+∞）上單調遞增，故命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數為真命題；
當x=

1

2

時函數取極小值-1＜0，故命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂=

1

4

＜1．故①滿足條件；
當在區(qū)間（1，2）上函數的解析式可化為f(x)=log2x-(

1

2

)x，根據“增-減=增”，可得f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數；
由函數y=|log₂x|與函數y=

1

2

x的圖象可得在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂＜1，故②滿足條件；
由余弦函數的周期性，查得函數f（x）=cos（x+2）-cosx，在區(qū)間（0，+∞）上有無限多個零點，故③不滿足條件
故答案為：①②

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數單調性的判斷與證明，函數的零點，其中熟練掌握基本初等函數的性質，掌握函數性質的研究方法是解答本題的關鍵．