Question

3．如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，點F在PA上，且2PF=FA．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求點E到平面PBF的距離．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得BE⊥PC．再利用線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明BE⊥平面PAC；
（2）利用等體積法：V_E-PFB=V_B-PEF，求點E到平面PBF的距離．

解答 （1）證明：∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．
∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥BE．
又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC        …（6分）
（2）解：在Rt△PBC中，$PC=2\sqrt{2}$
在Rt△PBA中，$AB=2\sqrt{2}$
∵$PE=\frac{1}{2}PC$，$PF=\frac{1}{2}PA$
∴${S_{△PEF}}=\frac{1}{6}{S_{△PCA}}=\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•AC•CP=\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•2•2\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$${S_{△PBF}}=\frac{1}{3}{S_{△PBA}}=\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•AB•BP=\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•2=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（10分）
設(shè)點E到平面PBF的距離為d
∵V_B-PEF=V_E-PBF
∴$\frac{1}{3}•{S_{△PEF}}•BE=\frac{1}{3}•{S_{PBF}}•d$
即$\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{2}}}{3}•\sqrt{2}=\frac{1}{3}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}•d$
∴$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

點評 本題考查了線面平垂直的判定，考查等體積法求點E到平面PBF的距離，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．