Question

6．四棱錐P-ABCD中，直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，∠APD=60°，PA=CD=2PD=2AB=2，且平面PDA⊥平面ABCD，E為PC的中點．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線PD與平面BDE所成角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理求出AD=$\sqrt{3}$，由勾股定理得PD⊥AD，由此能證明PD⊥平面ABCD．
（2）以DA、DC、DP分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PD的與平面BDE所成角的大小．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA=2，PD=1，∠PAD=60°，
∴AD²=PA²+PD²-2PA•PDcos∠PAD=3，∴AD=$\sqrt{3}$，
∴PA²=AD²+PD²，∴PD⊥AD，
又∵PD?平面PDA，平面PDA∩平面ABCD=AD，
平面PDA⊥平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD．
解：（2）∵AD⊥CD，∴以DA、DC、DP分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），P（0，0，1），E（0，1，$\frac{1}{2}$），B（$\sqrt{3}$，1，0），
∴$\overrightarrow{DE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$，
設(shè)平面BDE的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$，
設(shè)直線PD與平面BDE所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{1×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=60°，
∴直線PD的與平面BDE所成角為60°．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．