Question

已知函數(shù)，，其中為常數(shù)，  ，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)處的切線為，且。

（Ⅰ）若對(duì)任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)。我們把 的值稱為兩函數(shù)在處的偏差。求證：函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用參數(shù)分離法將不等式問題轉(zhuǎn)化為，等價(jià)轉(zhuǎn)化為處理，于是問題的核心就是求函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解，但同時(shí)需要注意題中的隱含條件將的值確定下來；（Ⅱ）先確定函數(shù)與函數(shù)的解析式，然后引入函數(shù)，通過證明，進(jìn)而得到

，得到，于是就說明原結(jié)論成立.

試題解析：解（Ⅰ）函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，

又  

函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)為，

又 

由題意可知，

又，所以               3分

不等式可化為

即

令，則，

又時(shí)，，，

故，在上是減函數(shù)

即在上是減函數(shù)

因此，在對(duì)任意的，不等式成立，

只需

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是               8分

（Ⅱ）證明：和的公共定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091600094745555579/SYS201309160010517395685790_DA.files/image036.png">，由（Ⅰ）可知，

令，則，

在上是增函數(shù)

故，即             ①

令，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

有最大值，因此     ②

由①②得，即

又由①得

  由②得

故函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2              13分

考點(diǎn)：函數(shù)圖象的切線方程、參數(shù)分離法、函數(shù)不等式