Question

20．長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在等軸雙曲線x²-y²=8的兩條漸近線上運(yùn)動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，則|MF|的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 8$\sqrt{2}$-1
• D． 3

Answer 1

分析 由雙曲線方程求出漸近線方程、F的坐標(biāo)，由題意不妨設(shè)A（x₁，x₁）、B（x₂，-x₂）、M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出x、y，由兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，代入并化簡(jiǎn)并判斷出點(diǎn)M的軌跡，再求出|MF|的最小值．

解答 解：由題意得，雙曲線x²-y²=8的兩條漸近線方程是y=±x，
右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，0），
不妨設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），
則x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{2}$，
由|AB|=2得，${（{x}_{1}-{x}_{2}）}^{2}$+${（{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}$=4，
則（2y）²+（2x）²=4，即x²+y²=1，
所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓，
所以|MF|的最小值為4-1=3，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程以及軌跡，考查了轉(zhuǎn)化思想，以及化簡(jiǎn)、變形能力．