Question

已知函數(shù)．

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）根據(jù)已知函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步分析方程有三個實(shí)數(shù)根來分析得到證明。

【解析】

試題分析：解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；．

曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．

（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使．

于是，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程

有三個相異的實(shí)數(shù)根．記 ，則 ．

當(dāng)變化時，變化情況如下表：

		0
		0		0
		極大值		極小值

 

綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實(shí)數(shù)根，則

即 ．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，以及能結(jié)合方程根問題求解a,b的不等關(guān)系式。屬于基礎(chǔ)題。