Question

對(duì)數(shù)列{a_n}，規(guī)定{Δa_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Δa_n＝a_n+1－a_n(n∈_N)．

對(duì)自然數(shù)k，規(guī)定{Δ^ka_n}為{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中Δ^ka_n＝Δ^k－1a_n+1－Δ^k－1a_n＝Δ(Δ^k－1a_n)．

(1)已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n＝n²＋n(n∈N)，試判斷{Δa_n}，{Δ²a_n}是否為等差或等比數(shù)列，為什么？

(2)若數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁＝1，且滿足Δ²a_n－Δa_n+1＋a_n＝－2ⁿ(n∈N)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

(3)對(duì)(2)中數(shù)列{a_n}，是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得對(duì)一切自然n∈N都成立？若存在，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)，∴是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列． 　　 　　∴是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列; 　　(2)，即，即，∴ 　　∵，∴，，，猜想： 　　證明：ⅰ)當(dāng)時(shí)，； 　　ⅱ)假設(shè)時(shí)， 　　時(shí)，結(jié)論也成立 　　∴由ⅰ)、ⅱ)可知，; 　　(3)，即 　　∵ 　　∴存在等差數(shù)列，，使得對(duì)一切自然都成立．