Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，證明的圖象與軸相切；

（2）當(dāng)時(shí)，證明存在兩個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再設(shè)切點(diǎn)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明，

（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明.

證明：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝（x﹣2）lnx+x﹣1．

∴f′（x）＝lnx++1，

若f（x）與x軸相切，切點(diǎn)為（x0，0），

∴f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+x0﹣1＝0

f′（x0）＝lnx0++1＝0，

解得x0＝1或x0＝4（舍去）

∴x0＝1，

∴切點(diǎn)為（1，0），

故f（x）的圖象與x軸相切

（2）∵f（x）＝（x﹣2）lnx+ax﹣1＝0，

∴a＝﹣＝﹣lnx+，

設(shè)g（x）＝﹣lnx+，

∴g′（x）＝﹣﹣+＝，

令h（x）＝1﹣2x﹣2lnx

易知h（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，

∵h（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，

∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，

∴g（x）max＝g（1）＝1，

當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，

∴當(dāng)a＜1時(shí)，y＝g（x）與y＝a有兩個(gè)交點(diǎn)，

即當(dāng)a＜1時(shí)，證明f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)