Question

下列敘述正確的是（　�。�

• A、命題：?x∈R，使x³+sinx+2＜0的否定為：?x∈R，均有x³+sinx+2＜0
• B、命題：若x²=1，則x=1或x=-1的逆否命題為：若x≠1或x≠-1，則x²≠0
• C、己知n∈N，則冪函數(shù)y=x^3n-7為偶函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上單調遞減的充分必要條件為n=1
• D、函數(shù)y=log₂

  x+m

  3-x

  圖象關于點（1，0）中心對稱的充分必要條件為m=±1

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：A：寫出命題：?x∈R，使x³+sinx+2＜0的否定，判斷即可；
B：寫出命題：若x²=1，則x=1或x=-1的逆否命題，判斷即可；
C：依題意，可求得n=1，從而可判斷其正誤；
D：令y=f（x）=log₂

x+m

3-x

，由其圖象關于點（1，0）中心，得f（x）+f（2-x）=0，解得m=1，從而可判斷其正誤．

解答： 解：A：命題：?x∈R，使x³+sinx+2＜0的否定為：?x∈R，均有x³+sinx+2≥0，故A錯誤；
B：命題：若x²=1，則x=1或x=-1的逆否命題為：若x≠1且x≠-1，則x²≠0，故B錯誤；
C：因為冪函數(shù)y=x^3n-7在x∈（0，+∞）上單調遞減，
所以3n-7＜0，解得n＜

7

3

，又n∈N，
所以，n=0，1或2；又y=x^3n-7為偶函數(shù)，
所以，n=1，即冪函數(shù)y=x^3n-7為偶函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上單調遞減的充分必要條件為n=1，C正確；
D：令y=f（x）=log₂

x+m

3-x

，由其圖象關于點（1，0）中心，得f（x）+f（2-x）=0，
即log₂

x+m

3-x

+log₂

(2-x)+m

3-(2-x)

=log₂

(x+m)(2+m-x)

(3-x)(1+x)

=0，

(x+m)(2+m-x)

(3-x)(1+x)

=1，
整理得：m²+2m-3=0，解得m=1或m=-3，
當m=-3時，

x+m

3-x

=-1＜0，y=log₂

x+m

3-x

不存在，故m=-3舍去，
故m=1．
所以，函數(shù)y=log₂

x+m

3-x

圖象關于點（1，0）中心對稱的充分必要條件為m=1，D錯誤；
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查命題之間的關系，考查充分必要條件的應用，屬于中檔題．