Question

19．若S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且2S_n=a_n+1a_n，a₁=4，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+3，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 2S_n=a_n+1a_n，a₁=4，n=1時(shí)，2×4=4a₂，解得a₂．n≥2時(shí)，2S_n-1=a_na_n-1，可得2a_n=a_n+1a_n-a_na_n-1，可得a_n+1-a_n-1=2．n≥2時(shí)，a_n+1-a_n-1=2，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列．

解答 解：∵2S_n=a_n+1a_n，a₁=4，
∴n=1時(shí)，2×4=4a₂，解得a₂=2．
n≥2時(shí)，2S_n-1=a_na_n-1，可得2a_n=a_n+1a_n-a_na_n-1，
∴a_n=0（舍去），或a_n+1-a_n-1=2．
n≥2時(shí)，a_n+1-a_n-1=2，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列．
∴a_2k-1=4+2（k-1）=2k+2．k∈N^*．
a_2k=2+2（k-1）=2k．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+3，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{n+3，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．