Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+a

x

，且a＜1
（1）用定義證明f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為[1，+∞），且m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用單調性的定義證明函數(shù)的單調性．
（2）利用函數(shù)的單調性的性質求解m的取值范圍．

解答：解：（1）因為x∈[1，+∞），所以設1≤x₁＜x₂，
若a=0，則f(x)=

x2

x

=x在[1，+∞）上是增函數(shù)．
若a＜0，則f(x)=x+

a

x

+a在[1，+∞）上是增函數(shù)．
若0＜a＜1，則f(x1)-f(x2)=x1+

a

x1

+a-(x2+

a

x2

+a)=x1-x2+

a(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)?

1-ax1x2

x1x2

，
因為1≤x₁＜x₂，a＜1，所以x₁-x₂0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)為增函數(shù)．
綜上恒有f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以由f（3m）＞f（5-2m），得

3m≥1 5-2m≥1 3m＞5-2m

，即

m≥ 1 3 m≤2 m＞1

，所以1＜m≤2．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調性的證明和應用，要求熟練掌握函數(shù)單調性的應用．