Question

6．在直角坐標系xOy中，過點P（2，$\frac{3}{2}$）作傾斜角為α的直線l與曲線C：（x-1）²+（y-2）²=1相交于不同的兩點M，N．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程與曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．曲線C：（x-1）²+（y-2）²=1展開把y=ρsinθ，x=ρcosθ，ρ²=x²+y²代入即可化為極坐標方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程可得：t²+（2cosα-sinα）t+$\frac{1}{4}$=0，利用根與系數(shù)的關系代入$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$，即可得出．

解答 解：（1）由題意可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C：（x-1）²+（y-2）²=1展開可得：x²+y²-2x-4y+4=0，
把y=ρsinθ，x=ρcosθ，ρ²=x²+y²代入化為極坐標方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（2）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程：x²+y²-2x-4y+4=0，
可得：t²+（2cosα-sinα）t+$\frac{1}{4}$=0，由△＞0，可得|2cosα-sinα|＞1．
故$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=4|2cosα-sinα|∈$（4，4\sqrt{5}]$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、三角函數(shù)基本關系式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．