Question

已知直線l:y=ax-1,雙曲線C:3x²-y²=1.

(1)若l與C總有兩個(gè)公共點(diǎn),求a的取值范圍;

(2)若l與C交于點(diǎn)A、B,且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),求a.

Answer 1

解:由(3-a²)x²+2ax-2=0.

(1)若直線l與曲線C總有兩個(gè)公共點(diǎn),則3-a²≠0,且4a²+8(3-a²)=-4(a²-6)＞0,

即a²-6＜0,∴-＜a＜,且a≠±3,

即a的取值范圍為(-,-)∪(-,)∪(3,).

(2)如圖所示,設(shè)l與C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂),由韋達(dá)定理可得:x₁+x₂=,

x₁x₂=.

∴y₁y₂=(ax₁-1)(ax₂-1)=a²x₁x₂-a(x₁+x₂)+1=1.

∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則OA⊥OB,即·=-1,也就是x₁x₂+y₁y₂=0,

∴1=0.∴a=1,或a=-1.

結(jié)合(1)可知,當(dāng)a=±1時(shí),以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).