Question

19．在平面直角坐標系xOy中，則過橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ為參數）的右焦點且與直線$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t為參數）平行的直線被橢圓截得的弦長為$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．

Answer 1

分析 橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ為參數），利用平方關系化為普通方程，其右焦點F（4，0）．可得過右焦點且與直線$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t為參數）平行的直線的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t為參數），代入橢圓方程可得關于t的一元二次方程，利用直線被橢圓截得的弦長=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ為參數）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，c=$\sqrt{25-9}$=4，其右焦點F（4，0）．
過右焦點且與直線$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t為參數）平行的直線的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t為參數），
代入橢圓方程可得：61t²+144$\sqrt{5}$t-405=0，
∴t₁+t₂=$-\frac{144\sqrt{5}}{61}$，t₁t₂=-$\frac{405}{61}$．
∴直線被橢圓截得的弦長=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．
故答案為：$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、直線與橢圓相交轉化為一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．