Question

若函數(shù)y=

f(x)

x

在（m，+∞）上為增函數(shù)（m為常數(shù)），則稱f（x）為區(qū)間（m，+∞）上的“一階比增函數(shù)”．
已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，且xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（1）求證：f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的“一階比增函數(shù)”；
（2）當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，證明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）已知不等式ln（l+x）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，證明：

1

22

ln2+

1

33

ln4+…+

1

(n+1)2

ln（n+1）＞

n

4(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由“一階比增函數(shù)”的意義知只需說(shuō)明y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．求導(dǎo)可得結(jié)論；
（2）由（1）知y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

．變形后兩式相加可得結(jié)論；
（3）由（2）知，n≥2時(shí)，可得f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（n≥2）恒成立．構(gòu)造f（x）=xlnx，知xf′（x）-f（x）=x（lnx+1）-xlnx=x＞0符合條件，則當(dāng)x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時(shí)，有x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（n≥2）（*）恒成立．令xn=

1

(n+1)2

，記S_n=x₁+x₂+…+x_n=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

，
利用放縮法可得

1

2

-

1

n+2

＜Sn＜1-

1

n+1

，則（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）＜（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（1-

1

n+1

）＜-

1

n+1

（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（∵ln（1+x）＜x），＜-

1

n+1

（

1

2

-

1

n+2

）=-

n

2(n+1)(n+2)

（**），再由（**）及（*）可得結(jié)論．

解答： 證明：（1）由y=

f(x)

x

，對(duì)y求導(dǎo)知y′=

f′(x)•x-f(x)

x2

，
由xf′（x）＞f（x）可知：y′＞0在（0，+∞）上恒成立．
從而y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
∴f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的“一階比增函數(shù)”．
（2）由（1）知y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

．
于是f（x₁）＜

x1

x1+x2

f（x₁+x₂），f（x₂）＜

x2

x1+x2

f(x1+x2)，
兩式相加得到：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．
（3）由（2）可知：y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）（x₁，＞0，x₂＞0）恒成立，
則當(dāng)n≥2時(shí)，f（x₁+x₂+x₃+…+x_n）=f[x₁+（x₂+x₃+…+x_n）]＞f（x₁）+f（x₂+x₃+…+x_n）
=f（x₁）+f[x₂+（x₃+…+x_n）]＞f（x₁）+f（x₂）+f（x₃+…+x_n）
=…＞f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）恒成立．即f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（n≥2）恒成立．
構(gòu)造f（x）=xlnx，知xf′（x）-f（x）=x（lnx+1）-xlnx=x＞0符合條件，
則當(dāng)x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時(shí)，
有x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（n≥2）（*）恒成立．
令xn=

1

(n+1)2

，記S_n=x₁+x₂+…+x_n=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

，
則Sn＜

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
Sn＞

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
∴（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（x₁+x₂+x₃+…+x_n）＜（x₁+x₂+x₃+…+x_n）ln（1-

1

n+1

）
＜-

1

n+1

（x₁+x₂+x₃+…+x_n）（∵ln（1+x）＜x），
＜-

1

n+1

（

1

2

-

1

n+2

）=-

n

2(n+1)(n+2)

（**），
由（**）及（*）可知：

1

22

ln

1

22

+

1

32

ln

1

32

+…+

1

(n+1)2

ln

1

(n+1)2

＜-

n

2(n+1)(n+2)

，
于是

1

22

ln22+

1

32

ln32+

1

42

ln42+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2＞

n

2(n+1)(n+2)

，

1

22

ln2+

1

32

ln3+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)＞

n

4(n+1)(n+2)

(n∈N*)

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式的證明，考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，該題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，能力要求高．