Question

4．已知雙曲線的一個焦點F，點P在雙曲線的一條漸近線上，點O為雙曲線的對稱中心，若△OFP為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），P在漸近線y=$\frac{a}$x上，△OFP為等腰直角三角形，只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，均有∠POF=45°，運用直線的斜率公式和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
F（c，0），P在漸近線y=$\frac{a}$x上，
△OFP為等腰直角三角形，
只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，
均有∠POF=45°，
即有$\frac{a}$=1，即a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．