Question

 設(shè)圓C與兩圓(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一個內(nèi)切,另一個外切.

(1) 求圓C的圓心軌跡L的方程;

(2) 已知點M,F(,0),且點P為軌跡L上動點,求|MP-FP|的最大值及此時點P的坐標.

Answer 1

 (1) 兩圓半徑都為2,設(shè)圓C的半徑為R,兩圓心分別為F1(-,0),F2(,0).

由題意得R=CF1-2=CF2+2或R=CF2-2=CF1+2,

所以CF1-CF2=4<2=F1F2.

可知圓心C的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線,設(shè)方程為-=1,則

2a=4,a=2,c=,b2=c2-a2=1,b=1,

所以軌跡L的方程為-y2=1.

(2) 因為MP-FP≤MF=2,當且僅當=λ(λ>0)時,取“=”.

由kMF=-2知直線lMF:y=-2(x-),聯(lián)立-y2=1并整理得15x2-32x+84=0,解得x=或x=(舍去),此時P,

所以MP-FP最大值等于2,此時P,-.