Question

已知拋物線：和：的焦點(diǎn)分別為，交于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)的直線交的下半部分于點(diǎn)，交的左半部分于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，求△面積的最小值.

Answer 1

（1）；（2）8.

試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、向量垂直的充要條件、兩點(diǎn)間距離公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量坐標(biāo)，聯(lián)立2個拋物線方程，解方程組，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到向量的坐標(biāo)，由于，所以，利用這個方程解出P的值，從而得到拋物線的方程；第二問，先設(shè)出過點(diǎn)O的直線方程，直線和拋物線聯(lián)立，得到M點(diǎn)坐標(biāo)，直線和拋物線聯(lián)立得到N點(diǎn)坐標(biāo)，由于，利用兩點(diǎn)間距離公式得到3個邊長，再利用基本不等式求面積的最小值.
試題解析：（1）由已知得：，，∴       1分
聯(lián)立解得或，即，，
∴                                     3分
∵，∴ ，即，解得，∴的方程為．                                     5分
『法二』設(shè)，有①，由題意知，，，∴                                          1分
∵，∴ ，有，
解得，                                           3分
將其代入①式解得，從而求得，
所以的方程為．                                 5分
（2）設(shè)過的直線方程為
聯(lián)立得，聯(lián)立得      7分
在直線上，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為
則                               8分


   10分       
當(dāng)且僅當(dāng)時，“”成立，即當(dāng)過原點(diǎn)直線為時，11分
△面積取得最小值．                          12分

『法二』聯(lián)立得，
聯(lián)立得，                   7分
從而，
點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而
                   9分
令，有，    11分
當(dāng)，即時，
即當(dāng)過原點(diǎn)直線為時，△面積取得最小值．                        12分