Question

（本小題滿分12分）  已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足

點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，

點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足  

（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；

   （Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （Ⅲ）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，

使△F₁MF₂的面積S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）略（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.滿分14分.

（Ⅰ）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

由P在橢圓上，得

由，所以 ……3分

證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記

則

由

證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為

      由橢圓第二定義得，即

       由，所以…3分

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為          當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.

又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn).

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是……7分

解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.

       當(dāng)|時(shí)，由，得.

       又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則

       因此    ①由得    ②

       將①代入②，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分

③ ④

   （Ⅲ）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

        

       由③得，由④得  所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；

       當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分

       當(dāng)時(shí)，，

       由，

       ，

       ，得

解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

③ ④

        

       由④得  上式代入③得

       于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；

       當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分

       當(dāng)時(shí)，記，

       由知，所以…………14分