Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對應的邊，∠C=90°，則

a+b

c

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數的求值,解三角形

分析：通過∠C=90°，得到sinC=1，然后利用正弦定理表示出a與b，代入

a+b

c

，表示出

a+b

c

，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由A的范圍求出這個角的范圍，從而根據正弦函數的圖象與性質得到正弦函數的值域，得到

a+b

c

的范圍．

解答： 解：由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，又sinC=1，
∴a=csinA，b=csinB，
所以

a+b

c

=

csinA+csinB

c

，由A+B=90°，得到sinB=cosA，
則

csinA+csinB

c

=sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），
∵∠C=

π

2

∴A∈（0，

π

2

），∴sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
∴

a+b

c

∈（1，

2

]．
故答案為：（1，

2

]．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值．根據正弦定理表示出a與b是本題的突破點，同時要求學生掌握正弦函數的值域的求法，屬于中檔題．