Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3 （n∈N^*），其中m為常數(shù)，且m≠-3,m≠0.

（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列{a_n}的公比q=f(m),數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁,b_n=f(b_n-1) (n∈N,n≥2),求證：為等差數(shù)列，并求b_n.

Answer 1

（1）證明見解析（2）證明見解析

解析:

證明  （1）由(3-m)S_n+2ma_n=m+3,

得(3-m)S_n+1+2ma_n+1=m+3,

兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n,m≠-3,

∴=≠0 (n≥1).∴{a_n}是等比數(shù)列.

（2）由(3-m)S₁+2ma₁=m+3,解出a₁=1,∴b₁=1.

q=f(m)= ,n∈N且n≥2時，

b_n=f(b_n-1)= ·，

b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，推出-=.

∴是以1為首項、為公差的等差數(shù)列.

∴=1+=.∴b_n=.