Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)為，，是橢圓上半部分的動點(diǎn)，連接和長軸的左右兩個端點(diǎn)所得兩直線交正半軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在的上方或重合）.

（1）當(dāng)面積最大時，求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時，若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；

（3）當(dāng)時，在軸上是否存在點(diǎn)使得為定值，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在,點(diǎn)，使得為定值.

【解析】

（1）由題意可得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時，面積最大，借助基本不等式即可求出b的值，可得橢圓方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)，則：，：，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)B是線段的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程；
（3）設(shè)，，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出

解：（1）由已知：

，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；

則：，

此時橢圓方程為：；

（2）點(diǎn)在軸或其左側(cè)，則圖形如本題圖，設(shè)，那么：

：，：，

令

得：，，

是線段的中點(diǎn)，

則：，

解得：，則，

則：：，即：；

（3）：，設(shè)，，

若點(diǎn)在軸左側(cè)，則同上，，

，，

，

此時，，；

綜上，故存在點(diǎn)使得為定值.