Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對a討論，分當(dāng)a≥0時，當(dāng)a＜0時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；
（2）由f（x）在[1，e]上的最小值可能為端點(diǎn)處的函數(shù)值或極值，分別考慮解方程求得a，再由（1）可得單調(diào)性，即可得到所求最小值，進(jìn)而得到a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，x＞0，
當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增；
當(dāng)a＜0時，由f′（x）＞0可得x＞-a，則f（x）在（-a，+∞）遞增；
（2）由f（x）在[1，e]上的最小值可能為端點(diǎn)處的函數(shù)值或極值，
若f（1）=-a為最小值，可得-a=$\frac{3}{2}$，即a=-$\frac{3}{2}$，
由（1）可得f（x）在[1，$\frac{3}{2}$）遞減，在（$\frac{3}{2}$，e]遞增，
故f（x）在x=$\frac{3}{2}$處取得最小值，故不成立；
若f（e）=1-$\frac{a}{e}$為最小值，可得1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，即a=-$\frac{1}{2}$e，
由（1）可得f（x）在[1，$\frac{1}{2}$e）遞減，在（$\frac{1}{2}$e，e]遞增，
故f（x）在x=$\frac{1}{2}$e處取得最小值，故不成立；
若f（-a）=ln（-a）+1為最小值，可得ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，即a=-$\sqrt{e}$，
由（1）可得f（x）在[1，$\sqrt{e}$）遞減，在（$\sqrt{e}$，e]遞增，
故f（x）在x=$\sqrt{e}$處取得最小值，故成立．
則a=-$\sqrt{e}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論思想方法和轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．