Question

10．已知函數(shù)f（x）=|1-2x|-|1+x|
（Ⅰ）解不等式f（x）≥4；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=|1+x|+a的圖象恒在函數(shù)f（x）的圖象的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用分類討論的思想方法，去絕對值，即可得到不等式組，即可得到所求解集；
（Ⅱ）由題意可得不等式a＞|1-2x|-2|1+x|恒成立，由絕對值不等式的性質(zhì)，可得右邊函數(shù)的最大值，進而得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≥4化為f（x）=|1-2x|-|1+x|≥4，則$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\ 1-2x+1+x≥4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}-1≤x＜\frac{1}{2}\\ 1-2x-1-x≥4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x≥\frac{1}{2}\\ 2x-1-1-x≥4\end{array}\right.$
解得x≤-2，或x≥6，
所以不等式的解集為{x|x≤-2，或x≥6}；
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=|1+x|+a的圖象恒在函數(shù)f（x）的圖象的上方，
∴|1+x|+a＞|1-2x|-|1+x|，
即不等式a＞|1-2x|-2|1+x|恒成立，
令h（x）=|1-2x|-2|1+x|=|1-2x|-|2+2x|
由||1-2x|-|2+2x||≤|（1-2x）+（2+2x）|=3，
得h（x）_max=3，
所以實數(shù)a的取值范圍a＞3．

點評 本題考查絕對值不等式的性質(zhì)，以及不等式恒成立思想，注意運用參數(shù)分離和分類討論的思想方法，屬于中檔題．