Question

（1）如圖，對于任一給定的四面體A₁A₂A₃A₄，找出依次排列的四個相互平行的α₁，α₂，α₃，α₄，使得A_i∈α_i（i=1，2，3，4），且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個相互平行的平面α₁，α₂，α₃，α₄，其中每相鄰兩個平面間的距離都為1，若一個正四面體A₁A₂A₃A₄ 的四個頂點滿足：A_i∈α_i（i=1，2，3，4），求該正四面體A₁A₂A₃A₄的體積．

Answer 1

分析：（1）先取A₂A₄的三等分點p₂，p₃，A₁A₃的中點M，A₂A₄，的中點N，過三點A₂，P₂，M，作平面α₂，過三點p₃，A₃，N作平面α₃，先得到兩個平行平面，再過點A₁，A₄，分別作平面α₁，α₄，與平面α₃平行即可．
（2）直接利用（1）中的四個平面以及四面體，建立出以△A₂A₃A₄的中心O為坐標原點，以直線A₄O為y軸，直線OA₁為Z軸的直角坐標系，求出各點對應坐標，求出平面A₃P₃N的法向量，利用α₁，α₂，α₃，α₄相鄰平面之間的距離為1求出正四面體的棱長，進而代入體積公式求出體積即可．

解答：解：（1）如圖所示，取A₁A₄的三等分點p₂，p₃，A₁A₃的中點M，A₂A₄，的中點N，
過三點A₂，P₂，M，作平面α₂，過三點A₃，P₃，N作平面α₃，
因為_A2P2∥NP3，A₃P₃∥MP₂，所以平面α₂∥α₃，
再過點A₁，A₄，分別作平面α₁，α₄，與平面α₃平行，
那么四個平面α₁，α₂，α₃，α₄依次互相平行，
由線段A₁A₄被平行平面α₁，α₂，α₃，α₄截得的線段相等知，其
中每相鄰兩個平面間的距離相等，故α₁，α₂，α₃，α₄為所求平面．


（2）：當（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個平行平面每相鄰兩平面之間的距離為1，
則正四面體A₁A₂A₃A₄就是滿足題意的正四面體．
設正四面體的棱長為a，以△A₂A₃A₄的中心O為坐標原點，以直線A₄O為y軸，直線OA₁為Z軸建立如圖所示的右手直角坐標系，
則A₁（0，0，

6

3

a），A₂（-

a

2

，

3

6

a，0），A₃（

a

2

，

3

6

a，0），A₄（0，-

3

3

a，0）．
令P₂，P₃為．A₁A₄的三等分點，N為A₂A₄的中點，有P₃（0，-

2 3

9

a，

6

9

a），N（-

a

4

，-

3

12

a，0），
所以

P3N

=（-

a

4

，

5 3

36

a，-

6

9

a），

NA3

=（

3

4

a，

3

4

a，0），

A4N

=（-

a

4

，

3

4

a，0）
設平面A₃P₃N的法向量

n

=（x，y，z），有

n • p3N =0  n • NA3 =0

即

9x-5 3 y+4 6 z=0 3x+ 3 y=0

，
所以

n

=（1，-

3

，-

6

）．因為α₁，α₂，α₃，α₄相鄰平面之間的距離為1，
所以點A₄到平面A₃P₃N 的距離

|(- a 4 )×1+ 3 4 a×(- 3 )+0×(- 6 )|

1+(- 3 )2+(- 6 )2

=1，解得a=

10

，
由此可得，邊長為

10

的正四面體A₁A₂A₃A₄滿足條件．
所以所求四面體的體積V=

1

3

Sh=

1

3

×

3

4

a2×

6

3

a=

2

12

a³=

5 5

3

．

點評：本題考查平面和平面之間的關系以及四面體的體積公式的應用．是道難題，第一問的關鍵點在與設出A₂A₄的三等分點p₂，p₃，過這二個點先作兩個過已知點的平行平面，另兩個平面就好求了．