Question

已知向量

a

，

b

是相互垂直的單位向量，且|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，則對于任意的實數t₁，t₂，|

c

-t1

a

-t2

b

|的最小值為（　�。�

A．5

B．7

C．12

D．13

Answer 1

分析：根據題意，

a

²=

b

²=1且

a

•

b

=0，將此代入|

c

-t1

a

-t2

b

|²的式子，并且結合|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，化簡整理可得|

c

-t1

a

-t2

b

|²=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144，由此不難得到t₁=3，t₂=4時，|

c

-t1

a

-t2

b

|的最小值為12．

解答：解：|

c

-t1

a

-t2

b

|²=

c

²+t₁²

a

²+t₂²

b

²-2t₁（

c

•

a

）-2t₂（

c

•

b

）+2t₁t₂（

a

•

b

）
∵

a

，

b

是相互垂直的單位向量，且|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，
∴|

c

-t1

a

-t2

b

|²=169+t₁²+t₂²-6t₁-8t₂=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144
由此可得，當且僅當t₁=3，t₂=4時，|

c

-t1

a

-t2

b

|²的最小值為144．
∴|

c

-t1

a

-t2

b

|的最小值為

144

=12
故選：C

點評：本題給出向量

a

、

b

、

c

的長度和夾角的一些數據，求

c

-t1

a

-t2

b

長度的最小值，著重考查了平面向量的數量積及其運算性質和二次式的最值等知識，屬于中檔題．