Question

【題目】如圖，是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，分別為棱長(zhǎng)上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等.（棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和）

（1）證明：為正四面體；

（2）若，求二面角的大��；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（3）設(shè)棱臺(tái)的體積為，是否存在體積為且各棱長(zhǎng)均相等的直平行六面體，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長(zhǎng)和？若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（注：用平行于底的截面截棱錐，該截面與底面之間的部分稱為棱臺(tái)，本題中棱臺(tái)的體積等于棱錐的體積減去棱錐的體積.）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，證明見解析.（注：所構(gòu)造直平行六面體不唯一，只需題目滿足要求即可）

【解析】

（1）根據(jù)棱長(zhǎng)和相等可知，根據(jù)面面平行關(guān)系和棱錐為正三棱錐可證得，進(jìn)而證得各棱長(zhǎng)均相等，由此得到結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可知，從而得到即為所求二面角的平面角；易知，從而得到，在中根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可求得，從而得到結(jié)果；（3）設(shè)直平行六面體的棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為，根據(jù)正四面體體積為，可驗(yàn)證出；又所構(gòu)造六面體體積為，知，只需滿足即可滿足要求，從而得到結(jié)果.

（1）棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等

平面平面，三棱錐為正三棱錐

為正四面體

（2）取的中點(diǎn)，連接

， ，

平面， 平面

平面

為二面角的平面角

由（1）知，各棱長(zhǎng)均為

為中點(diǎn)

即二面角的大小為：

（3）存在滿足題意的直平行六面體，理由如下：

棱臺(tái)的棱長(zhǎng)和為定值，體積為

設(shè)直平行六面體的棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為

則該六面體棱長(zhǎng)和為，體積為

正四面體體積為：

時(shí)，滿足要求

故可構(gòu)造棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為的直平行六面體即可滿足要求