Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°．以AB，BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，連接DA₁和DC₁． 
（Ⅰ）求證：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面ADA₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）線面垂直的判定定理即可證明．

解答： （本小題共13分）
證明：
（Ⅰ）連結(jié)B₁C，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB，
由ABCD為平行四邊形得CD∥AB且CD=AB
∴A₁B₁∥CD且A₁B₁=CD------------------（2分）
∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，A₁D∥B₁C---------（4分）
∵B₁C?平面BCC₁B₁，A₁D?平面BCC₁B₁-----------（6分）
∴A₁D∥平面BCC₁B₁------------------（7分）
（Ⅱ）∵平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，
∴AC⊥AD------------------（2分）
∵AA₁⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴AA₁⊥AC------------------（4分）
又∵AD∩AA₁=A，AA₁?平面ADA₁，AD?平面ADA₁，
∴AC⊥平面ADA₁．------------------（6分）

點評：本題考查線面平行與線面垂直的判定．