Question

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}都是單調(diào)遞增數(shù)列，若將這兩個數(shù)列的項按由小到大的順序排成一列（相同的項視為一項），則得到一個新數(shù)列{cn}．
（1）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}分別為等差、等比數(shù)列，若a1=b1=1，a2=b3 ， a6=b5 ， 求c20；
（2）設(shè){an}的首項為1，各項為正整數(shù)，bn=3n ， 若新數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，求數(shù)列{cn} 的前n項和Sn；
（3）設(shè)bn=qn﹣1（q是不小于2的正整數(shù)），c1=b1 ， 是否存在等差數(shù)列{an}，使得對任意的n∈N* ， 在bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項數(shù)總是bn？若存在，請給出一個滿足題意的等差數(shù)列{an}；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

由題意得， ，解得d=0或3，因數(shù)列{an}，{bn}單調(diào)遞增，

所以d＞0，q＞1，

所以d=3，q=2，

所以an=3n﹣2，bn=2n﹣1．

因為a1=b1=1，a2=b3，a6=b5，b7＞a20．

∴c20=a17=49．

（2）解：設(shè)等差數(shù)列{cn}的公差為d，又a1，且bn=3n，

所以c1=1，所以cn=dn+1﹣d．

因為b1=3是{cn}中的項，所以設(shè)b1=cn，即d（n﹣1）=2．

當(dāng)n≥4時，解得d= ＜1，不滿足各項為正整數(shù)；

當(dāng)b1=c3=3時，d=1，此時cn=n，只需取an=n，而等比數(shù)列{bn}的項都是等差數(shù)列{an}，中的項，所以Sn= ；

當(dāng)b1=c2=3時，d=2，此時cn=2n﹣1，只需取an=2n﹣1，

由3n=2m﹣1，得m= ，3n是奇數(shù)，3n+1 是正偶數(shù)，m有正整數(shù)解，

所以等比數(shù)列{bn}的項都是等差數(shù)列{an}中的項，所以Sn=n2．

綜上所述，數(shù)列{cn}的前n項和Sn= ，或Sn=n2．

（3）解：存在等差數(shù)列{an}，只需首項a1∈（1，q），公差d=q﹣1…

下證bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項數(shù)為bn．即證對任意正整數(shù)n，都有 ，

即 成立．

由bn﹣ =qn﹣1﹣a1﹣（1+q+…+qn﹣2）（q﹣1）=1﹣a1＜0，

bn+1﹣ =qn﹣a1﹣（1+q+…+qn﹣1﹣1）（q﹣1）=q﹣a1＞0．．

所以首項a1∈（1，q），公差d=q﹣1的等差數(shù)列{an}符合題意

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意得， ，解得d=0或3，因數(shù)列{an}，{bn}單調(diào)遞增，d＞0，q＞1，可得an=3n﹣2，bn=2n﹣1 ， 利用通項公式即可得出．（2）設(shè)等差數(shù)列{cn}的公差為d，又a1 ， 且bn=3n ， 所以c1=1，所以cn=dn+1﹣d．因為b1=3是{cn}中的項，所以設(shè)b1=cn ， 即d（n﹣1）=2．當(dāng)n≥4時，解得d= ＜1，不滿足各項為正整數(shù)當(dāng)b1=c3=3時，當(dāng)b1=c2=3時，即可得出．（3）存在等差數(shù)列{an}，只需首項a1∈（1，q），公差d=q﹣1．下證bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項數(shù)為bn ． 即證對任意正整數(shù)n，都有 ，作差利用通項公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識，掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．