Question

8．若函數(shù)y=log₂（-x²+8x-7）在區(qū)間（m，m+1）上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是[1，3]．

Answer 1

分析 由對數(shù)式的真數(shù)大于0求出函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)的增區(qū)間，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可得原函數(shù)的增區(qū)間，由函數(shù)y=log₂（-x²+8x-7）在區(qū)間（m，m+1）上是增函數(shù)，可得（m，m+1）是原函數(shù)增區(qū)間的子集，然后結(jié)合兩集合端點值間的關(guān)系列式求得m的范圍．

解答 解：由-x²+8x-7＞0，得1＜x＜7．
函數(shù)t=-x²+8x-7的對稱軸方程為x=4，
∴函數(shù)t=-x²+8x-7在（1，4]上為增函數(shù)，
而外函數(shù)y=log₂t是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，
則函數(shù)y=log₂（-x²+8x-7）的增區(qū)間為（1，4]．
要使函數(shù)y=log₂（-x²+8x-7）在區(qū)間（m，m+1）上是增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m+1≤4}\end{array}\right.$，解得1≤m≤3．
∴實數(shù)m的取值范圍是[1，3]．
故答案為：[1，3]．

點評 本題主要考查了復合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．對應復合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．