Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

寫出曲線的極坐標(biāo)的方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；

若過點(diǎn)（極坐標(biāo)）且傾斜角為的直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)曲線的極坐標(biāo)方程為： ；曲線的直角坐標(biāo)方程為：

.(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（1）先消參數(shù)得的普通方程，再根據(jù)得曲線的極坐標(biāo)的方程，利用將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（2）先求直線參數(shù)方程，再代入的普通方程，利用韋達(dá)定理以及參數(shù)幾何意義求的值.

試題解析： 由題意的方程為： 可得的普通方程為： ，

將代入曲線方程可得： .

因為曲線的極坐標(biāo)方程為，

所以.

又， ， .

所以.

所以曲線的極坐標(biāo)方程為： ；曲線的直角坐標(biāo)方程為：

.

因為點(diǎn)，化為直角坐標(biāo)為所以.

因為直線過點(diǎn)且傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入中可得： ，

所以由韋達(dá)定理： ， ，

所以.