Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意都有，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）求、；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）分別令和代入題干中的等式求出和的值；（2）利用定義法進(jìn)行求解，在原式中利用替換得到，將此等式與原式作差得到

，再次利用定義法得到數(shù)列為等差數(shù)列，最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；（3）利用化簡(jiǎn)得到，對(duì)進(jìn)行分奇偶討論求出的取值范圍.

試題解析：（1）令，則，即，所以或或，

又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，

令，則，即，解得或或，

又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，

（2）， ①

， ②

由①②得，

化簡(jiǎn)得到， ③

，④

由③④得，

化簡(jiǎn)得到，即，

當(dāng)時(shí)，，所以，

所以數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

；

（3），

因?yàn)閷?duì)任意的，都有恒成立，即有，

化簡(jiǎn)得，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，，即，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，，即，

，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.定義法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列不等式恒成立；3.分類討論