Question

13．若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x_o（a＜x_o＜b），滿足f（x_o）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x_o是它的一個均值點．例如y=|x|是區(qū)間[-2，2]上的“平均值函數(shù)”，O就是它的均值點．
（I）若函數(shù)f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（0，2）．
（II）若函數(shù)f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x_o是它的一個均值點，要使得lnx_°＜$\frac{m}{{\sqrt{ab}}}$恒成立，參數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x²-mx-1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，故有x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）內(nèi)有實數(shù)根，求出方程的根，讓其在（-1，1）內(nèi)，即可求出實數(shù)m的取值范圍．
（2）猜想判斷l(xiāng)nx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，換元轉(zhuǎn)化為h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$，利用導(dǎo)數(shù)證明，求解出最值得出參數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=x²-mx-1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，
∴關(guān)于x的方程x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）內(nèi)有實數(shù)根．
由x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$，得x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必為均值點，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求實數(shù)m的取值范圍是0＜m＜2．
（Ⅱ）由題知lnx₀=$\frac{lnb-lna}{b-a}$．
猜想：lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
證明如下：$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
令t=$\sqrt{\frac{a}}$＞1，原式等價于lnt²＜t-$\frac{1}{t}$，
2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0，
令h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$（t＞1），
則h′（t）=$\frac{2}{t}$-1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=-$\frac{（t-1）^{2}}{t}$＜0，
∴h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜h（1）=0，
得證$ln{x}_{0}＜\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
∵lnx_°＜$\frac{m}{{\sqrt{ab}}}$恒成立，∴m≥1．
故答案為：（0，2）；[1，+∞）．

點評 本題主要是在新定義下考查二次方程根的問題．在做關(guān)于新定義的題目時，一定要先認(rèn)真的研究定義理解定義，再按定義做題