Question

已知f（x）=x+asinx．若f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍

[-1，1]

．

Answer 1

分析：先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意知，導(dǎo)函數(shù)大于等于0在（-∞，+∞）上恒成立，再根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得到關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可

解答：解：∵f（x）=x+asinx
∴f'（x）=1+acosx
又∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)
∴f'（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，即1+acosx≥0在（-∞，+∞）上恒成立
∴只需滿足f'（x）=1+acosx在（-∞，+∞）上的最小值大于等于0即可
又∵cosx∈[-1，1]
∴當a≥0時，f'_min（x）=1-a≥0，解得0≤a≤1
當a＜0時，f'_min（x）=1+a≥0，解得-1≤a＜0
∴-1≤a≤1
故答案為：[-1，1]

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．當導(dǎo)函數(shù)大于等于0時，原函數(shù)單調(diào)遞增；當導(dǎo)函數(shù)小于等于0時，原函數(shù)單調(diào)遞減．屬簡單題