Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y²=4$\sqrt{5}$x的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P（2，1）在雙曲線的漸近線上，則ab的值為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 8
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意有雙曲線的幾何性質(zhì)可得c=$\sqrt{5}$，即可得a²+b²=5①，由雙曲線的方程表示出其漸近線方程，由于P（2，1）在雙曲線的漸近線上，則$\frac{a}$=2②，聯(lián)立①、②可得a、b的值，將其相乘即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線y²=4$\sqrt{5}$x的焦點(diǎn)為（$\sqrt{5}$，0），
則雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為（$\sqrt{5}$，0），即c=$\sqrt{5}$
則有a²+b²=5，①
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
又由P（2，1）在雙曲線的漸近線上，則$\frac{a}$=2，②，
聯(lián)立①、②可得a=2，b=1，
則有ab=2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是得到關(guān)于a、b的方程．