Question

設a為實數，函數f（x）=x|x-a|，
（1）當-1≤x≤1時，討論f（x）的奇偶性；
（2）當0≤x≤1時，求f（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）當時a=0，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
此時f（x）為奇函數．
當a≠0時，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，
由f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a），
此時f（x）既不是奇函數又不是偶函數．
（2）當a≤0時，∵0≤x≤1時，f（x）=x（x-a）為增函數，∴x=1時，f（x）_max=f（1）=1-a．
當a＞0時，∵0≤x≤1，∴f（x）=|x（x-a）|=|x²-ax|，其圖象如圖所示：
①當，即a≥2時，f（x）_max=f（1）=a-1．
②當，即時，．
③當，即時，f（x）_max=f（1）=1-a．
綜上：當時，f（x）_max=1-a；
當時，； 當a≥2時，f（x）_max=a-1．
分析：（1）當時a=0，經檢驗 f（x）為奇函數，當a≠0時，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，此時f（x）既不是奇函數又不是偶函數．
（2）當a≤0時，f（x）_max=f（1）=1-a．當a＞0時，f（x）=|x²-ax|，其圖象如圖所示：分當，
當，當這三種情況，分別利用單調性求出函數的最值．
點評：本題考查判斷函數的奇偶性的方法，求函數最值，體現(xiàn)了數形結合的數學思想，利用函數的單調性求最值，是解題的難點．