Question

14．是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$） 在[2，4]上是增函數(shù)？若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分類討論，考查內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)t=ax-$\sqrt{x}$=a（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$，
當(dāng)a＞1時(shí)，由于函數(shù)t=ax-$\sqrt{x}$在[2，4]是增函數(shù)，且函數(shù)t大于0恒成立，
故函數(shù)f （x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$）在[2，4]是增函數(shù)，滿足條件．
當(dāng) 1＞a＞0時(shí)，由題意可得函數(shù)t=ax-$\sqrt{x}$在[2，4]應(yīng)是減函數(shù)，且函數(shù)t大于0，
故$\frac{1}{2a}$≥$\sqrt{4}$，且4a-2＞0，此時(shí)無解
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，難度中檔．