Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；

（2）是否存在負(fù)整數(shù)，使函數(shù)的極大值為正值？若存在，求出所有負(fù)整數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，最后根據(jù)切線過點(diǎn)，求的值；（2）先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定極值點(diǎn)范圍，再根據(jù)極大值條件以及極大值為正數(shù)條件列不等式組，得，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最小值，得到a的取值范圍，但無整數(shù)解，所以不存在負(fù)整數(shù)滿足條件．

（1）∵ ∴,

∴函數(shù)在處的切線方程為：，又直線過點(diǎn)

∴，解得：

（2）若，，

當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上無極值；

當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上無極值；

在上，若在處取得符合條件的極大值，則，則，由（3）得：，代入（2）得： ，結(jié)合（1）可解得：，再由得：，

設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即是增函數(shù)，

所以，

又，故當(dāng)極大值為正數(shù)時(shí)，，從而不存在負(fù)整數(shù)滿足條件．