Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實數根，求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=xf（x）無極值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數模型設出函數的解析式，根據不等式的解集建立兩個等量關系，然后根據方程f（x）+6a=0有兩個相等的實數根，利用判別式等于零建立等量關系，解三元一次方程組即可；
（2）先將函數g（x）中的字母都有a表示，研究函數的導數g'（x），根據g（x）無極值，得到方程g'（x）=0無實根或有兩個相等實根，建立關系式解之即可．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），∵不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3），所以a＜0
∴f（1）=a+b+c=-2①f（3）=9a+3b+c=-6②
又∵f（x）+6a=ax²+bx+c+6a=0有兩等根，∴△=b²-4a（c+6a）=0③
由①②③解得a=-

1

5

，或a=1（5分）
又∵f（x）＞-2x的解集為（1，3），
∴a＜0，故a=-

1

5

，b=-

6

5

，c=-

3

5

．∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

（7分）
（2）由①②得b=-2-4a，c=3a，∴g（x）=ax³+（-2-4a）x²+3ax，g'（x）=3ax²+2（-2-4a）x+3a（9分）
∵g（x）無極值，∴方程g'（x）=0無實根或有兩個相等實根，則

a≠0 △=4(-2-4a)2-36a2≤0

，
解得-2≤a≤-

2

7

（12分）

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及利用導數研究函數的極值，屬于基礎題．